1. 면적 문제: 다각형에서 극한까지
다각형의 면적은 삼각형으로 분해하여 구할 수 있지만, 곡선 경계를 가진 영역 $S$는 다른 접근 방식이 필요합니다. 우리는 면적 문제 구간 $[a, b]$에서 연속이고 음수가 아닌 함수 $y = f(x)$ 아래의 정확한 면적을 찾는 것으로 정의합니다.
구간 $[a, b]$를 $n$개의 길이가 같은 부분구간으로 나눕니다. 각 부분구간의 폭은 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$이며, 경계점은 $x_0, x_1, \dots, x_n$입니다.
직사각형 $n$개를 만듭니다. 다음의 오른쪽 끝점 근사값($R_n$)을 사용하면 $i$번째 직사각형의 높이는 $f(x_i)$입니다. 전체 면적은 $A \approx \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$로 근사됩니다.
$n$이 증가함에 따라 오차(직사각형과 곡선 사이의 공백)는 사라집니다. 정확한 면적 $A$는 다음 극한으로 정의됩니다: $\displaystyle A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$.
2. 거리와 속도의 이중성
이 거리 문제 질문은 다음과 같습니다: 물체의 속도가 시간에 따라 변할 때, 그 물체가 얼마나 먼 거리를 이동하는가? 속도가 일정하다면 $거리 = 속도 \times 시간$입니다. 만약 속도가 변한다면, 매우 짧은 시간 간격 $\Delta t$에서는 '지역적으로 일정'하다고 간주합니다.
"우리가 속도를 더 자주 측정할수록, 우리의 추정치는 더욱 정확해지고, 따라서 정확한 거리 $d$가 이러한 표현들의 극한임은 타당해 보입니다."
예시: $y = x^2$ 에서 $[0, 1]$ (예제 1)
포물선 $y = x^2$에서 0에서 1까지의 면적을 $n=4$개의 직사각형을 오른쪽 끝점을 사용하여 근사하기 위해:
- $\Delta x = (1-0)/4 = 0.25$
- $R_4 = 0.25 [f(0.25) + f(0.5) + f(0.75) + f(1)]$
- $R_4 = 0.25 [0.0625 + 0.25 + 0.5625 + 1] = 0.46875$
왼쪽 끝점을 사용하면($L_4$) $0.21875$가 나옵니다. 실제 면적은 이 두 값 사이에 존재합니다: $0.21875 < A < 0.46875$.